Komposition Linearer Abbildungen Beispiel Essay

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Der Begriff Komposition bedeutet in der Mathematik meist die Hintereinanderschaltung von Funktionen, auch als Verkettung, Verknüpfung oder Hintereinanderausführung bezeichnet. Sie wird meist mit Hilfe des Verkettungszeichens notiert.

Die Darstellung einer Funktion als Verkettung zweier oder mehrerer, im Allgemeinen einfacherer Funktionen ist zum Beispiel in der Differential- und Integralrechnung wichtig, wenn es darum geht, Ableitungen mit der Kettenregel oder Integrale mit der Substitutionsregel zu berechnen.

Der Begriff Komposition kann von Funktionen auf Relationen und partielle Funktionen verallgemeinert werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien beliebige Mengen und sowie Funktionen, so heißt die Funktion

die Komposition von und . Der Ausdruck „“ wird als „ verknüpft mit “, „ komponiert mit “, „ nach “ oder „ Kringel “ gelesen.[1][2][3] Es ist dabei zu beachten, dass die zuerst angewandte Abbildung rechts steht, im Gegensatz zum Diagramm

Abweichende Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine alternative Schreibweise für ist , wobei man dies nicht mit dem Produkt der Funktionen verwechseln darf, bei dem das Multiplikationszeichen ebenfalls oft weggelassen wird.

Es gibt auch wenige Autoren, die nach als mit schreiben, die Funktionen also von links nach rechts auswerten. Welche Reihenfolge gewählt wurde, lässt sich oft an einem Beispiel des Autors nachvollziehen. Daneben existiert auch die Notation, bei der das Funktionssymbol rechts vom Argument geschrieben wird, also (oder auch ) anstelle von . Dann ist die Auswertung von links nach rechts naheliegend, also (hauptsächlich im Kontext von (rechten) Gruppenoperationen verbreitet).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte die folgenden Funktionen, für die als Definitions- und Wertemenge die Menge der reellen Zahlen oder eine Teilmenge davon angenommen wird. Ist die Funktion durch und die Funktion durch gegeben, so ergibt die Verkettung von und die Funktion mit

.

Umgekehrt lässt sich die durch definierte Funktion als darstellen, wobei

sind.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ, das heißt für Funktionen , und gilt:

,

da

für alle . Diese Assoziativität gilt nur für die Komposition, den Kringel. Denn die Auswertungsreihenfolge ist in beiden Fällen im dritten Ausdruck (ganz rechts) formuliert, sie beginnt bei der innersten Klammer , rechts bei der Anwendung von auf den Operanden und schreitet nach links fort.

Kommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Komposition von Funktionen ist im Allgemeinen nichtkommutativ; beispielsweise gilt für die Funktionen und :

Identische Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die identische Abbildung verhält sich bei der Komposition neutral, für eine Funktion gilt also:

,

wobei und die jeweiligen Identitäten auf den Mengen und darstellen.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtige Eigenschaften, die eine Funktion besitzen kann, sind

  • Injektivität (kein Element in wird mehrfach angenommen),
  • Surjektivität (jedes Element in wird angenommen),
  • Bijektivität (jedes Element in wird angenommen, und keins wird mehrfach angenommen).

Jede dieser Eigenschaften überträgt sich auf die Verkettung, es gilt also:

  • Die Komposition injektiver Funktionen ist injektiv.
  • Die Komposition surjektiver Funktionen ist surjektiv.
  • Die Komposition bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Umgekehrt gilt: Ist eine Verkettung

Potenzen (Iteration)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Abbildung einer Menge in sich selbst, dann kann man diese Funktion mit sich selbst verketten und erhält . Wie bei assoziativen Operationen üblich kann nun induktiv für jede natürliche Zahl die -te Potenz erklärt werden durch:

Außerdem setzt man

wird auch als -te Iterierte von bezeichnet; das (auch mehrfache) Verketten einer Funktion mit sich selbst nennt man Iteration.

Falls auf eine Multiplikation definiert ist, darf die Iteration nicht mit der Multiplikation verwechselt werden: kann in diesem Fall auch den Ausdruck bezeichnen.

Ist sogar bijektiv, dann existiert die Umkehrfunktion , und die negativen Potenzen sind definiert durch:

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Menge der positiven reellen Zahlen und gegeben durch . Dann gilt:

Algebraische Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird die Menge

Die Komposition von Funktionen

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